Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為右頂點(diǎn)為過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，所得四邊形為菱形，且其面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由橢圓的對稱性及四邊形為菱形知，可得的縱坐標(biāo)為，四邊形的面積為，結(jié)合的關(guān)系求解出，即可得到得答案.
(2) 設(shè)，設(shè)直線的方程為:由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到的表達(dá)式，求出三角形面積的表達(dá)式，再求其最大值.

（1）如圖，因橢圓的對稱性及四邊形為菱形知，

即，即①

令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

由四邊形的面積為

故

即

又③

聯(lián)立得:

故橢圓方程為

（2）由知:

設(shè)直線的方程為:

假設(shè).

由得:

即

由得:

，故.

令

則

設(shè)

由可知: 單調(diào)遞增，

故