Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側棱是底面邊長的2倍，P是側棱CC₁上的任一點．

(1)求證：不論P在側棱CC₁上何位置，總有BD⊥AP；

(2)若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P與平面ABCD所成二面角的余弦值；

(3)當P點在側棱CC₁上何處時，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分線．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)由題意可知，不論P點在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD內射影都是AC， ，　 (2)延長B1P和BC，設B1P∩BC=M，連結AM，則AM=平面AB1P∩平面ABCD． 過B作BQ⊥AM于Q，連結B1Q，由于BQ是B1；Q在底面ABCD內的射影，所以B1Q⊥AM，故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依題意，知CM=2B1C1，從而BM=3BC． 所以 . 在 中， ， 得 　　 為所求． (3)設CP=a，BC=m，則BB1=2m，C1P=2m－a，從而 在 依題意，得.　　． ． 即 故P距C點的距離是側棱的 別解：如圖，建立空間直角坐標系． 設 依題意，得 即 故P距C點的距離是側棱的