Question

（2012•紅橋區一模）已知函數f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（a≠0）
（Ⅰ）若f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=-

1

3

x+1垂直，求實數a的取值；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若a=1時，過點M（2，m）（m≠-6），可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出由于切線與直線y=-

1

3

x+1垂直，則f′（-1）=3，解方程得到a的值；
（Ⅱ）由函數的導數，令f′（x）=0，解出函數的極值點，最后根據導數判斷函數的單調性，從而求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）函數f（x）=x³-3x²-2，設切點，由于切線過點M（2，m）（m≠-6），由切線斜率相等得到3x02-6x0=

y0-m

x0-2

，整理方程，由于過點M（2，m）（m≠-6），可作曲線y=f（x）的三條切線，問題轉化為g(x)=2x 3-9x 2+12x +2+m的極值問題，列出不等式解出即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=3ax²-6x，且在x=-1處的切線與直線y=-

1

3

x+1垂直，
所以3a+6=3，所以a=-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³-3x²+4，則f′（x）=-3x²-6x，
令f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=-2．
顯然當x＜-2或x＞0時，f′（x）＜0；當-2＜x＜0時，f′（x）＞0．
則函數f（x）的單調減區間是（-∞，-2），（0，+∞），函數f（x）的單調增區間是（-2，0）；
（Ⅲ）當a=1時，函數f（x）=x³-3x²-2，則f′（x）=3x²-6x，
設切點為P（x₀，y₀），則y0=x03-3x02-2；f′(x0)=3x02-6x0
又由曲線y=f（x）的切線過點M（2，m）（m≠-6），
則3x02-6x0=

y0-m

x0-2

=

x03-3x02-2-m

x0-2

，
整理得2x03-9x02+12x0+2+m=0
令g(x)=2x 3-9x 2+12x +2+m，有g′(x)=6x 2-18x+12，
令g′（x）＞0，解得x＜1或x＞2，令g′（x）＜0，解得1＜x＜2
故函數函數g（x）的極大值為g（1），極小值為g（2）
由于過點M（2，m）（m≠-6），可作曲線y=f（x）的三條切線，則2x03-9x02+12x0+2+m=0有三個不同的根
即函數g(x)=2x 3-9x 2+12x +2+m有三個不同的零點，亦即函數g（x）的極大值大于0且極小值小于0
即

g(1)=7+m＞0 g(2)=6+m＜0

，解得-7＜m＜-6，
故實數m的取值范圍為（-7，-6）．

點評：此題主要考查多項式函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程與不等式等基礎知識，一般出題者喜歡考查學生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學生會用數形結合的思想、分類與整合思想，化歸與轉化的思想來解決問題．