Question

【題目】如圖，直角坐標系中，圓的方程為，，，為圓上三個定點，某同學從點開始，用擲骰子的方法移動棋子．規定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個定點沿圓弧移動到相鄰下一個定點；②棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點數為偶數，則按圖中箭頭方向移動；若擲出骰子的點數為奇數，則按圖中箭頭相反的方向移動．設擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，．例如：擲骰子一次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，．

（1）分別擲骰子二次，三次時，求棋子分別移動到，，處的概率；

（2）擲骰子次時，若以軸非負半軸為始邊，以射線，，為終邊的角的余弦值記為隨機變量，求的分布列和數學期望；

（3）記，，，其中．證明：數列是等比數列，并求.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析，.

【解析】

（1）由概率的乘法公式，可得所求值；

（2）隨機變量的可能數值為1，，結合（1）運用概率的乘法公式，可隨機變量的分布列和期望；

（3）易知，即，由條件推得，利用構造法可得，從而求得的值.

（1），，

，，

綜上，

棋子位置 擲骰子次數
2
3

（2）隨機變量的可能數值為1，.

綜合（1）得

，

，

故隨機變量的分布列為

.

（3）易知，因此，

而當時，，

又，

即.

因此，

故

即數列是以為首項，公比為的等比數列.

所以，

又

故.