Question

函數f（x）=ax³+bx²的圖象過點M（1，4），在點M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在區間（m-1，m+1）上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）=ax³+bx²的圖象過點M（1，4），在點M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直，建立方程組，這樣可以求出a，b的值；
（2）根據（1）得到函數，導函數的解析式，確定函數的單調增區間，利用函數f（x）在區間（m-1，m+1）上單調遞增，可建立不等關系，這樣就可以求實數m的取值范圍

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²，∴f'（x）=3ax²+2bx
由已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象過點M（1，4），在點M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直
可得

f(1)=4 f′(1)=9

即

a+b=4 3a+2b=9

解得a=1，b=3…（6分）
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²
∴f'（x）=3x²+6x=3x（x+2）
由f'（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，∴f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）上單調遞增…（9分）
∵函數f（x）在區間（m-1，m+1）上單調遞增，
∴m+1≤-2或m-1≥0，即m≤-3或m≥1，
∴實數m的取值范圍是m≤-3或m≥1，…（13分）

點評：導數的幾何意義就是曲線在該點處的切線的斜率，依此可以解決切線問題，函數在區間上單調遞增，這個區間是函數增區間的子區間，要牢牢記住．