Question

如圖，A、B、C、D是空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB=2，AC=BC=

2

，等邊△ADB所在的平面以AB為軸可轉(zhuǎn)動(dòng)．
（Ⅰ）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求三棱錐D-ABC的體積；
（Ⅱ）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，是否總有AB⊥CD？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取出AB中點(diǎn)E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，由勾股定理可得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得三角形ABC的面積，由棱錐的體積公式可得答案．
（Ⅱ）總有AB⊥CD，當(dāng)D∈面ABC內(nèi)時(shí)，顯然有AB⊥CD，當(dāng)D在而ABC外時(shí)，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，
因?yàn)锳DB是等邊三角形，所以DE⊥AB．
當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，
因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE
由已知可得 DE=

3

，EC=1，
則S_△ABC=1，
V_D-ABC=

1

3

×

3

×1=

3

3

．
（Ⅱ）當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD．
證明：（�。┊�(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锳C=BC，AD=BD，
所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD．
（ⅱ）當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．
又DE，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD．
綜上所述，總有AB⊥CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用線面垂直的方法來(lái)證明線線垂直，解答的關(guān)鍵是答題者的空間想象能力．