Question

【題目】已知函數f(x)＝lnx＋2x－6。

(1)證明：函數f(x)在其定義域上是增函數；

(2)證明：函數f(x)有且只有一個零點；

(3)求這個零點所在的一個區間，使這個區間的長度不超過。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）直接根據函數單調性的定義，即可證明；

（2）由零點判定定理，即可證明；

（3）由（2）知，該零點在區間(2,3)上，從而利用二分法確定區間即可.

(1)證明：函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，設0<x1<x2，則lnx1<lnx2, 2x1<2x2.

∴ lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．

∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

(2)證明：∵ f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，

∴f(2)·f(3)<0. ∴ f(x)在(2,3)上至少有一個零點，

又由(1)可知f(x)在(0，＋∞)上是增函數，因此函數至多有一個根，

從而函數f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．

(3)解：由（2）可知f(x)的零點，

取，，

∴ 區間長度

取，，∴.

∴，區間長度，

∴即為符合條件的區間．