Question

（本小題滿分12分）已知數列為方向向量的直線上，  （I）求數列的通項公式； 
（II）求證：（其中e為自然對數的底數）；  
（III）記
求證：

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)見解析（Ⅲ）見解析

（I）解：由題意，      1分
      1
為首項，為公比的等比數列。    1分
     1分
（Ⅱ）證明：

構造輔助函數
單調遞增，
令
則

   4分
（III）證明：



時，

（當且僅當n=1時取等號）。3分
另一方面，當時，


                              

（當且僅當時取等號）。
（當且僅當時取等號）。
綜上所述，有      2分