Question

已知函數f(x)＝的圖像在點（為自然常數）處的切線斜率為3.
(Ⅰ)求實數的值
(Ⅱ)若，且對任意的恒成立，求得最大值
(Ⅲ)當時，證明

Answer 1

（1）因為f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）
因為函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e處的切線斜率為3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．（2分）
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以對任意x＞1恒成立，即對任意x＞1恒成立．（3分）
令，則，（4分）
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），則，
所以函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增．（5分）
因為h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當x＞x₀時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增．
．（7分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．故整數k的最大值是3．（8分）
（3）證明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函數，（9分）
所以當n＞m≥4時，．（10分）
即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．（11分）
因為n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．（14分）
證明2：構造函數f（x）=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx，（9分）
則f'（x）=（m﹣1）lnx+m﹣1﹣mlnm．（10分）
因為x＞m≥4，所以f'（x）＞（m﹣1）lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm＞0．
所以函數f（x）在[m，+∞）上單調遞增．（11分）
因為n＞m，所以f（n）＞f（m）．
所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn＞m²lnm+mlnm﹣m²lnm﹣mlnm=0．（12分）
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

略