Question

已知是等差數列，是公比為q的等比數列，，記為數列的前n項和。

（1）若（是大于2的正整數）。求證：；

（2）若（i是某個正整數，求證：q是整數，且數列中的每一項都是數列中的項。

（3）是否存在這樣的正數q，使等比數列中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）設等差數列的公差為d

由題意得且

由

∴等式成立

（2）（1）由

即

∴為整數

（2）設是數列中的任一項，只要討論的情形

令

∵  當      為或0

則或2

而，否則矛盾  當時，為正整數，∴k為正整數

∴數列中的每一項都是數列中的項

（3）假設存在成等差數列，且

∴

  令      且

  令

       ∴   

       ∵   ∴