Question

已知函數f(x)=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，則下列說法
①f（x）在[

2

，+∞）上是減函數；
②f（x）的最大值是2；
③方程f（x）=0有2個實數根；
④f(x)≤

4

3

2

在R上恒成立，
則下列正確的命題是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、①④
• D、①②③

Answer 1

分析：由函數f(x)=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，分段判斷函數在各個區間上的單調性及最值，在求函數單調性時，應用導數求函數的單調區間和最值，從而知道函數的圖象的變化情況，故得到答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=-

1

3

x3+2x，令f′（x）=-x²+2=
解得x=

2

，∴f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表；
∴函數f（x）在[

2

，+∞）上是減函數，故①正確；
當x=

2

時，f（x）_max=

4

3

2

，故④正確；
當x＜0時，f（x）單調遞減，∴f（x）＜f（0）=-1
而f（0）=0，當x→+∞時，f（x）→-∞，故方程f（x）=0有2個實數根，故③正確．
故選A．

點評：分段函數求解問題，一般分段求解，體現了分類討論的數學思想；在探討函數單調性時，體現了導數的工具性，也培養了應用知識分析、解決問題的能力，是好題，屬中檔題．