Question

在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PA⊥平面ABCD.
 
(1)求證：PC⊥BD；
(2)過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E，且三棱錐E－BCD的體積取到最大值．
①求此時四棱錐E－ABCD的高；
②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．

Answer 1

（1）見解析（2），

(1)連接AC，因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，所以PC⊥BD.
(2)解　①設PA＝x，三棱錐E－BCD的底面積為定值，在△PBC中，易知PB＝，PC＝，
又BC＝1，故△PBC直角三角形．又BE⊥PC，得EC＝，可求得該三棱錐的高h＝＝.
當且僅當x＝，即x＝時，三棱錐E－BCD的體積取到最大值，所以h＝.
此時四棱錐E－ABCD的高為.
②以點A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)，易求得CE＝CP.
所以＝＋＝，＝(0,1,0)．
設平面ADE的法向量n₁＝(x，y，z)，則
即，令x＝，則n₁＝(，0，－3)，
同理可得平面BDE的法向量n₂＝＝(－1，－1，)，所以cos〈n₁，n₂〉＝＝－.所以sin〈n₁，n₂〉＝.所以二面角A－DE－B的正弦值的大小為.