Question

設同時滿足條件：①≤b_n＋1(n∈N^*)；②b_n≤M(n∈N^*，M是與n無關的常數)的無窮數列{b_n}叫“特界” 數列．
(1) 若數列{a_n}為等差數列，S_n是其前n項和，a₃＝4，S₃＝18，求S_n；
(2) 判斷(1)中的數列{S_n}是否為“特界” 數列，并說明理由．

Answer 1

（1）－n²＋9n（2）是“特界”數列

(1) 設等差數列{a_n}的公差為d，
則a₁＋2d＝4，3a₁＋3d＝18，解得a₁＝8，d＝－2，S_n＝na₁＋d＝－n²＋9n.
(2) 由
＝＝－1<0，得<S_n＋1，故數列{S_n}適合條件①，而S_n＝－n²＋9n＝－²＋ (n∈N^*)，則當n＝4或5時，S_n有最大值20.即S_n≤20，故數列{S_n}適合條件②.
綜上，數列{S_n}是“特界”數列．