Question

如圖電流強度I與時間t的關系式I=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)在一個周期內的圖象；
（1）求函數的解析式；
（2）求函數的單調減區間；
（3）為了使I=Asin（ωx+φ）中t在任意一段

1

50

秒的時間內I能同時取得最大值和最小值，求正整數ω的最小值．

Answer 1

分析：（1）由圖象的頂點縱坐標求出A，由周期求出ω，根據五點法作圖求出∅．
（2）由  2kπ+

π

2

≤100πt +

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求出x的范圍，即為函數的減區間．
（3）要使t在任意一段

1

50

秒能取得最大值和最小值，必須使得周期T≤

1

50

，解不等式求得ω的范圍，從而得到ω的最小值．

解答：解：（1）由圖可知：A=300，周期T=

1

60

-(-

1

300

)=

1

50

；由

2π

ω

=T?ω=

2π

T

=100π；
當t=-

1

300

時，ωt+φ=0，即φ=-ωt=-100π•(-

1

300

)=

π

3

；
故圖象的解析式為：I=300sin(100πt+

π

3

)．
（2）由  2kπ+

π

2

≤100πt +

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得  

k

50

+

1

600

≤x≤ 

k

50

+

7

600

，k∈Z，
 故函數的減區間為  [

k

50

+

1

600

，

k

50

+

7

600

]，k∈Z．
（3）要使t在任意一段

1

50

秒能取得最大值和最小值，必須使得周期T≤

1

50

；
即

2π

ω

＜

1

50

 ，  ω＞100π  ， ω＞314.2，由于ω為正整數，故ω的最小值為315．

點評：本題考查由 y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數的解析式得方法，正弦函數的單調區間，以及參數的幾何意義，
求出函數的解析式是解題的突破口．