Question

如圖，在四梭錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1．點M線段PD的中點．
（I）若PA=2，證明：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）設BM與平面PCD所成的角為θ，當棱錐的高變化時，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件證明PD⊥AM，PD⊥AB，可得PD⊥平面ABM．再利用兩個平面垂直的判定定理證明平面ABM⊥平面PCD．
（Ⅱ）過點A在平面PAD內作AN⊥PD于N，可得AN就是點A到平面PCD的距離，設棱錐的高為x，則d=AN=

2x

4+x2

．在Rt△ABM中，利用勾股定理求得BM，再由
sinθ=

d

BM

，利用基本不等式求得求得sinθ的最大值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA平面ABCD，∴PA⊥AD．
∵點M為線段PD的中點，PA=AD=2，∴PD⊥AM．
又∵AB⊥平面PAD，∴PD⊥AB．∴PD⊥平面ABM．
又PD?平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ）設點B到平面PCD的距離為d，∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD．
∴點B到平面PCD的距離與點A到平面PCD的距離相等．
過點A在平面PAD內作AN⊥PD于N，∵平面ABM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD．
所以AN就是點A到平面PCD的距離．
設棱錐的高為x，則d=AN=

2x

4+x2

．
在Rt△ABM中，BM=

AB2+AM2

=

AB2+( PD 2 )2

=

1+ AD2+AP2 4

=

2+ x2 4

．∴sinθ=

d

BM

=

2x 4+x2

2+ x2 4

=

4x

32+12x2+x4

=

4

12+ 32 x2 +x2

．
因為12+

32

x2

+x2≥12+2

32

=(2

2

+2)2，當且僅當

32

x2

=x2，即x=

4	32

時，等號成立．
故sinθ=

4

12+ 32 x2 +x2

≤

4

(2 2 +2)2

=2

2

-2．…（12分）

點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定定理的應用，直線和平面所成的角的定義和求法，屬于中檔題．