Question

如圖，在四梭錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1．點M線段PD的中點．
（I）若PA=2，證明：平面ABM⊥平面PCD；
（II）設BM與平面PCD所成的角為θ，當棱錐的高變化時，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用線面垂直證明面面垂直即可；
（II）本題難以直接作出直線與平面所成的角，可根據轉化思想求出B點到平面的距離，再根據線面角的定義求sinθ關于高的函數，利用函數求最值的方法解決．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵點M為線段PD的中點，PA=AD=2，∴PD⊥AM．
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PA
又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，PD?平面PAD
∴PD⊥AB．又AM∩AB=A，
∴PD⊥平面ABM，又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）設點B到平面PCD的距離為d．
∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD．
∴點B到平面PCD的距離與點A到平面PCD的距離相等．
過點A在平面PAD內作AN⊥PD于N，
∵平面ABM⊥平面PCD，AN⊥平面PCD．
∴AN就是點A到平面PCD的距離．
設棱錐的高為x，則d=AN=

2x

4+x2

．
BM=

AB2+AM2

=

AB2+( PD 2 )2

=

1+ x2+4 4

=

2+ x2 4

．
∴sinθ=

d

BM

=

4x

32+12x2+x4

=

4

12+ 32 x2 +x2

．
∵12+

32

x2

+x²≥12+2

32

=12+8

2

，當且僅當x⁴=32，即x=2

4	2

時，等號成立．
故sinθ≤

4

12+8 2

=

4

2+2 2

=2

2

-2．
∴sinθ的最大值是2

2

-2．

點評：本題考查面面垂直的判定、直線與平面所成的角的求法．