Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1）．
（Ⅰ）若對定義域內的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實數b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）的定義域上是單調函數，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）若b=-1，證明對任意的正整數n，不等式

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

成立．

Answer 1

（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞-1．
∴f（x）的定義域為（-1，+∞）．…（1分）
因為對x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函數f（x）的最小值，故有f′（1）=0．…（2分）
f′(x)=2x+

b

x+1

，
∴2+

b

2

=0，解得b=-4．…（3分）
經檢驗，b=-4時，f（x）在（-1，1）上單調減，在（1，+∞）上單調增．
f（1）為最小值．故得證．…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

，
又函數f（x）在定義域上是單調函數，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．…（6分）
若f′（x）≥0，則2x+

b

x+1

≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x²-2x=-2（x+

1

2

）²+

1

2

恒成立，由此得b≥

1

2

；…（8分）
若f′（x）≤0，則2x+

b

x+1

≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≤-2x²-2x=-2（x+

1

2

）²+

1

2

恒成立．
因-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（-1，+∞）上沒有最小值，
∴不存在實數b使f′（x）≤0恒成立．
綜上所述，實數b的取值范圍是[

1

2

，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）當b=-1時，函數f（x）=x²-ln（x+1）．
令h（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
則h′(x)=-3x2+2x-

1

x+1

=-

3x3+(x-1)2

x+1

．
當x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，
所以函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減．
又h（0）=0，∴當x∈[0，+∞）時，恒有h（x）＜h（0）=0，
即x²-ln（x+1）＜x³恒成立．
故當x∈（0，+∞）時，有f（x）＜x³．…（12分）
∵k∈N^*，∴

1

k

∈(0，+∞)．
取x=

1

k

，則有f(

1

k

)＜

1

k3

．
∴

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

．
所以結論成立．…（14分）