Question

設S為復數集C的非空子集.若對任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集.下列命題:

①集合S={a+bi|a,b為整數,i為虛數單位}為封閉集;

②若S為封閉集,則一定有0∈S;

③封閉集一定是無限集;

④若S為封閉集,則滿足S⊆T⊆C的任意集合T也是封閉集.

其中真命題有　　　　　(寫出所有真命題的序號).

 

Answer 1

①②

【解析】設x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2為整數,

則x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,

由于a1,b1,a2,b2為整數,

故a1±a2,b1±b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整數,

所以x+y,x-y,xy∈S,

故集合S={a+bi|a,b為整數,i為虛數單位}為封閉集,①是真命題;若S是封閉集,且x=y∈S,則根據封閉集的定義,x-y=x-x=0∈S,故命題②正確;集合S={0},顯然是封閉集,故封閉集不一定是無限集,命題③不正確;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,容易驗證集合T不是封閉集,故命題④不是真命題.

【方法技巧】集合新定義問題的解題技巧

這種新定義的題目關鍵就是抓住新定義的本質,緊扣新定義進行推理論證,本題中就是根據封閉集滿足其集合中的任意兩個元素的和、差、積還是這個集合中的元素.判斷一個元素是不是集合中的元素,就看這個元素是否符合集合中代表元素的特征.