Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為“科比數(shù)列”．
（Ⅰ）已知等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差不為零，若{b_n}為“科比數(shù)列”，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²對(duì)任意n∈N^*都成立，試推斷數(shù)列{c_n}是否為“科比數(shù)列”？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)，b₁=1，整理得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，進(jìn)而可得關(guān)于k和d的方程組，求得k和d，進(jìn)而求得{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）先由題意求得a₁，當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)c_n=S_n-S_n-1，求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而代入不是常數(shù)故推斷數(shù)列{c_n}不是“科比數(shù)列”．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），，因?yàn)閎₁=1，則，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，則，解得．
故數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知，當(dāng)n=1時(shí)，c₁³=S₁²=c₁²．因?yàn)閏₁＞0，所以c₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，c₁³+c₂³+c₃³++c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³++c_n-1³=S_n-1²．
兩式相減，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因?yàn)閏_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．
顯然c₁=1適合上式，所以當(dāng)n≥2時(shí)，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因?yàn)閏_n+c_n-1＞0，則c_n-c_n-1=1，所以數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以不為常數(shù)，故數(shù)列{c_n}不是“科比數(shù)列”．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和問(wèn)題．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．