Question

【題目】若函數f（x）在定義域上存在區間[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域為[ ]，則稱f（x）在[a，b]上具有“反襯性”．下列函數①f（x）=﹣x+ ②f（x）=﹣x2+4x ③f（x）=sin x ④f（x）= ，具有“反襯性”的為|（ ）
A.②③
B.①③
C.①④
D.②④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：若函數f（x）在定義域上存在區間[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域為[ ]，則等價為函數f（x）與y= 有兩個交點，且函數在區間上單調遞減即可．
①若f（x）=﹣x+ ，作出函數f（x）與y= 的圖象，由圖象知兩個函數有兩個交點，則f（x）具有“反襯性”，

②若f（x）=﹣x2+4x，作出函數f（x）與y= 的圖象，由圖象知兩個函數有兩個交點，但函數在交點對應的區間上不具單調性，則f（x）不具有“反襯性”，

③f（x）=sin x，作出函數f（x）與y= 的圖象，由圖象知兩個函數有兩個交點，函數在交點對應的區間上單調遞減，則f（x）具有“反襯性”，

④f（x）= ，
當2＜x＜3時，f（x）= f（x﹣1）= [﹣|x﹣2|+1]=﹣ |x﹣2|+ ，
當3＜x＜4時，f（x）= f（x﹣1）= [﹣ |x﹣3|+ ]=﹣ |x﹣2|+ ，

作出函數f（x）與y= 的圖象，由圖象知兩個函數有兩個交點，函數在交點對應的區間上不單調遞減，則f（x）不具有“反襯性”，
綜上具有“反襯性”的函數是①③，
故選：B
【考點精析】利用函數的定義域及其求法和函數的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．