Question

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)平面；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查線面垂直、線面平行、線線垂直、線線平行以及錐體體積問題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，在中，利用中位線得到與平行，通過線面平行的判斷定理即可得到平面；第二問，要求三棱錐的體積，找到底面積和高是關鍵，通過的翻折得出平面，通過，得出平面，所以為錐體的高，利用錐體體積公式計算出體積；第三問，在線段上取點．使， 過作于，在中，利用邊長求出的正切，從而確定角的度數，在等邊三角形中，是角平分線，所以，再利用線面垂直的判定證出平面，所以.
試題解析：（1）平面，理由如下：
如圖：在中，由分別是、中點，得，
又平面，平面．∴平面．

（2）∵，，將沿翻折成直二面角．
∴   ∴平面
取的中點，這時  ∴平面，，
 
（3）在線段上存在點，使
證明如下：在線段上取點．使， 過作于，
∵平面    ∴平面
∴，  ∴，
∴  在等邊中， ∴
∵平面    ∴．
∴平面， ∴． 
此時，   ∴．