Question

已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)，求證：（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的a，b是正數(shù)，把不等號(hào)的左邊的兩個(gè)因式，分別使用均值不等式，注意等號(hào)成立的條件，把所得的兩個(gè)均值不等式相乘，整理成最簡(jiǎn)形式，就是不等式右邊的部分，由a，b是不相等的正實(shí)數(shù)得到等號(hào)不能成立．

解答：證明：∵a，b是正實(shí)數(shù)，
∴a2b+a+b2≥3

3	a2b•a•b2

=3ab＞0
（當(dāng)且僅當(dāng)a²b=a=b²即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立）
同理：ab2+a2+b≥3

3	ab2•a2•b

=3ab＞0
（當(dāng)且僅當(dāng)ab²=a²=b即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立）
∴（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）≥9a²b²．
（當(dāng)且僅當(dāng)ab²=a²=b即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立）
∵a≠b，
∴（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查均值不等式，考查均值不等式等號(hào)成立的條件，考查不等式的基本性質(zhì)，是一個(gè)綜合題目，這種題目在大型考試中單獨(dú)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)沒有，但是可以作為綜合題目的一個(gè)知識(shí)的出現(xiàn)．