Question

【題目】已知函數其中為實數.設，為該函數圖象上的兩個不同的點.

（1）指出函數的單調區間；

（2）若函數的圖象在點，處的切線互相平行，求的最小值；

（3）若函數的圖象在點，處的切線重合，求的取值范圍.(只要求寫出答案).

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為，，的遞減區間為.（2）（3）

【解析】

（1）根據二次函數和對數函數單調性即可得到函數的單調區間；（2）根據切線平行可知；根據函數導函數的單調性可知分屬兩段不同區間；設，則，得到切線斜率，將化為，由基本不等式可求得最小值；（3）由切線重合得到斜率相等，得到，進而得到；根據切線重合，寫出切線方程后可知方程相同，得到等式；令，，利用導數可得函數的單調性，從而得到的值域，從而得到的范圍.

（1）當時，

在上單調遞減；在上單調遞增

當時，，在上單調遞增

綜上所述：的單調遞增區間為：，；單調遞減區間為：

（2）設在處的切線斜率為，在處的切線斜率為

在，處的切線互相平行

當時，，在上單調遞增

當時，，在上單調遞減

不能同時屬于，也不能同時屬于

不妨設，則 ，

，即：

（當且僅當，即時取等號）

（3）若切線重合，則，由（2）知：

，即

在點處的切線為：

在點處的切線為：

切線重合 切線方程相同，整理可得：

設，，則

時， 在上單調遞減

又時，；