Question

【題目】已知三棱錐P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB中點，E是PB中點．

（1）證明：平面PAB⊥平面ABC；

（2）求點B到平面OEC的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連結PO，利用等腰三角形的性質證得，利用勾股定理計算證明證得，由此證得平面，進而證得平面平面.

（2）利用等體積法，由列方程，解方程求得到平面的距離.

（1）連結PO，在△PAB中，PA＝PB，O是AB中點，

∴PO⊥AB，

又∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴．

∵PA＝PB＝3，∴，PC2＝PO2+OC2，

∴PO⊥OC．

又AB∩OC＝O，AB平面ABC，OC平面ABC，

∴PO⊥平面ABC，

∵PO平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．

（2）∵OE是△PAB的中位線，∴．

∵O是AB中點，AC＝BC，∴OC⊥AB．

又平面PAB⊥平面ABC，兩平面的交線為AB，∴OC⊥平面PAB，

∵OE平面PAB，∴OC⊥OE．

設點B到平面OEC的距離為d，則VB﹣OEC＝VE﹣OBC，

∴，

∴點B到平面OEC的距離：

．