Question

如圖，圓C：x²+y²-2x-8=0內有一點P（2，2），過點p作直線l交圓于A，B兩點．
（1）當直線l經過圓心C時，求直線l的方程；
（2）當弦AB被點P平分時，寫出直線l方程；
（3）當直線l傾斜角為45°時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1） 先求出直線l的斜率，用點斜式寫直線的方程，并化為一般式．
（2）當弦AB被點P平分時，由CP⊥AB，求得AB的斜率，用點斜式求直線方程．
（3）用斜截式設出直線l的方程，點P坐標代入，可得截距的值，由點到直線的距離公式求出點C到直線l的距離，
由弦長公式求|AB|，代入三角形的面積公式進行運算．

解答：解：（1）∵圓C：（x-1）²+y²=9，∴K_CP =

2-0

2-1

=2，
又∵點C（1，0）在直線上，∴l的方程為2x-y-2=0，
（2）當弦AB被點P平分時，連CP，則CP⊥AB，
∵K_CP=2，K_AB=-

1

2

，∴l的方程為x+2y-6=0，
（3）∵直線l傾斜角為45°，設直線l的方程為y=x+b，∵直線l過點P，2=2+b，b=0，
∴l的方程為y-x=0，點C到直線l的距離為d=

|1-0|

2

=

2

2

，
由弦長公式可得|AB|=2

|CA|2-d2

=2

9- 1 2

=

34

，
∴三角形△ABC的面積是S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

34

•

2

2

=

17

2

．

點評：本題考查兩直線垂直的性質，用點斜式、斜截式求直線的方程，點到直線的距離公式以及弦長公式的應用．