Question

在正四棱錐S-ABCD中，點E是BC的中點，動點P在側面SCD內運動，且總有PE⊥AC，則動點P的軌跡是（　　）

A．SC的中點

B．點S與CD中點的連線

C．線段SC

D．SC的中點與CD的中點的連線

Answer 1

分析：設AC、BD交于點O，SC、CD的中點分別為M、N，連接SO、MN、EM、EN．由正四棱錐的性質，證出AC⊥平面SBD，得AC⊥SD，結合MN∥SD可得AC⊥MN．正方形ABCD中證出AC⊥NE，從而得到AC⊥平面MNE，因此經過點E與AC垂直的直線總在平面EMN內，由此可得動點P的軌跡對應的圖形．

解答：解：設AC、BD交于點O，SC的中點為M，CD的中點為N，連接SO、MN、EM、EN
∵AC⊥BD，AC⊥SO，BD、SO是平面SBD內的相交直線
∴AC⊥平面SBD，可得AC⊥SD
∵MN是△SCD的中位線，∴MN∥SD可得AC⊥MN，
又∵正方形ABCD中，E、N分別為BC、CD的中點
∴AC⊥NE，
∵EN、MN是平面EMN內的相交直線，
∴AC⊥平面MNE，
因此不論P在線段MN的何處總有PE⊥AC，即動點P的軌跡是SC的中點與CD的中點的連線．
故選：D

點評：本題給出正四棱錐S-ABCD，求經過BC中點E與AC垂直的平面與平面SCD的交線．著重考查了線面垂直的判定與性質和正四棱錐的性質等知識，屬于基礎題．