Question

如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；
（Ⅱ）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、
若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）(Ⅱ) [-，-1]∪（-1， 1）∪（1，）.

(I)先建系，然后根據為定值,可確定點M的軌跡是雙曲線，
然后按照求雙曲線標準方程的方法求解即可.
(II) 先設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.
根據條件可知 ,從而得到k的取值范圍.
再利用弦長公式和韋達定理用k表示出|EF|,再利用點到直線的距離公式求出原點O到直線l的距離，從而表示出三角形的面積，這樣三角形的面積就表示成了關于k的函數，
再根據,得到關于k的不等式，從而解出k的取值范圍，再與前面k的取值范圍求交集即可.
（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.∴曲線C的方程為.
解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.
則由解得a²=b²=2,∴曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴ 　　
∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設E（x，y），F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=,于是
｜EF｜＝
＝
而原點O到直線l的距離d＝，
∴S_△DEF=
若△OEF面積不小于2,即S_△OEF，則有
       ③
綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴ 　　
∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則由①式得
｜x₁-x₂｜=          ③
當E、F在同一去上時（如圖1所示），
S_△OEF＝
當E、F在不同支上時（如圖2所示）.
S_△ODE=
綜上得S_△OEF＝于是
由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=
若△OEF面積不小于2
    　④
綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1， 1）∪（1，）.