Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-．
（1）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（3）試?yán)�用�?）的結(jié)論，證明：對(duì)于大于1的任意正整數(shù)n，都有+++…+＜lnn．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立即可，分離參數(shù)即得a≥對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，a≥（）_max（x∈[0，+∞））即可．
（2）a=1時(shí)，求f（x）的導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，得到的x的值為函數(shù)的極值點(diǎn)，在借助函數(shù)在[-，1]的單調(diào)性，判斷函數(shù)當(dāng)x為何值時(shí)有最大值，何時(shí)有最小值．
（3）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥，x∈[0，+∞）成立．即ln＞，得證，或利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明也可．
解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-，∴f′（x）=（a＞0）．
∵函數(shù)f（x）在[0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，∴f′（x）≥0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴a（x+1）-1≥0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，即a≥對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立．
而當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，（）_max=1，∴a≥1．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=．∴當(dāng)x∈[-，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在[-，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）在[-，1]上有唯一極小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（0）=0．又f（-）=1+ln=1-ln2，f（1）=-+ln2，
f（-）-f（1）=-2ln2==∵e³＞16，
∴f（-）-f（1）＞0，即f（-）＞f（1）．∴f（x）在[-，1]上的最大值為f（-）=1-ln2．
綜上，函數(shù)f（x）在[-，1]上的最大值是1-ln2，最小值是 0．
（3）法一：用數(shù)學(xué)歸納法．
①當(dāng)n=2時(shí)，要證＜ln2，只要證ln4＞1，顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式+++…+＜lnk（k＞1，k∈N^*）成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，+++…++＜lnk+．要證lnk+＜ln（k+1）成立，
只要證＜ln，即＜ln（1+）． 令=x＞0，則上式化為＜ln（1+x）（x＞0）．
只要證：ln（1+x）-＞0（*）．
由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥x∈[0，+∞）成立，而（*）中x=（k＞1，k∈N^*），x＞0，
∴l(xiāng)n（1+x）-＞0 即（*）式成立．∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
由①②知對(duì)任意n＞1的正整數(shù)不等式都成立．
法二：由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（1+x）-在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥，x∈[0，+∞）成立．
令x=（n∈N^*），則x＞0，∴有l(wèi)n（1+x）＞，即ln＞．
由此得ln＞，ln＞，ln＞，…，ln＞，
則ln+ln+ln+…+ln＞+++…+，即得lnn＞+++…+．
故對(duì)大于1的任意正整數(shù)n．都有+++…+＜lnn．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查大小比較，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)，合理構(gòu)建不等式，屬于中檔題．