Question

已知二次函數y=f（x），滿足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值為-1．
（1）若函數y=F（x），x∈R為奇函數，當x＞0時，F（x）=f（x），求函數y=F（x），x∈R的解析式；
（2）設g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-2）=f（0）可知函數的對稱軸x=-1，結合f（x）的最小值為-1可設f（x）=a（x+1）²-1
然后代入f（0）=0可求a，結合函數y=F（x）為奇函數及x＞0時，F（x）=f（x）可求F（x）
（2）代入整理求出g（x），分類討論函數g（x）為一次函數及二次函數兩種情況分別 討論即可求解

解答：解：（1）∵f（-2）=f（0）=0，
∴函數的對稱軸x=-1
∵f（x）的最小值為-1．
由題意可設f（x）=a（x+1）²-1
∵f（0）=a-1=0
∴a=1
∴f（x）=x²+2x
∵y=F（x）為奇函數，
∴F（0）=0
∵當x＞0時，F（x）=f（x）=x²+2x
∴x＜0時，-x＞0
∴F（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x
∴F（x）=-（-x）=-x²+2x
F（x）=

x2+2x，x＞0 0，x=0 -x2+2x，x＜0

（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1=x²-2x-λ（x²+2x）+1
=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1
若g（x）在[-1，1]上是減函數
①若1-λ=0即λ=1時，g（x）=-4x+1在[-1，1]上單調遞減，滿足題意
②若1-λ＜0即λ＞1時，g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1是開口向下的拋物線，對稱軸x=

1+λ

1-λ

則由題意可得

1+λ

1-λ

≤-1
∴λ＞1滿足題意
③若1-λ＞0即λ＜1時，g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1是開口向上的拋物線，對稱軸x=

1+λ

1-λ

∴

1+λ

1-λ

≥1
∴0≤λ＜1
綜上可得，λ≥0

點評：本題主要考查了利用二次函數的性質求解函數的解析式及函數的奇偶性在求解中的應用，一次函數與二次函數的單調性的應用，具有一定的綜合性