Question

【題目】如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC．O為AB的中點，OF⊥EC． （Ⅰ）求證：OE⊥FC：
（Ⅱ）若 = 時，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結OC，∵AC=BC，O是AB的中點， 故OC⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC；
（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2，
∵ = ，∴AC= ，則OC=
建立以O為坐標原點，OC，OB，OD分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則F（0，﹣1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（ ，0，0），則
=（﹣ ，1，1）， =（0，﹣2，0），
設平面FCE的法向量為 =（x，y，z），
則 ．
∴ =（1，0， ），
∵ =（0，0，1）， =（ ，﹣1，0），
∴同理可得平面CEB的法向量為 =（1， ，0），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∵二面角F﹣CE﹣B是鈍二面角，
∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（Ⅰ）連結OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OF，進而得到OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC． （Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行．