Question

設P：關于x的不等式2^|x|＜a的解集為∅，Q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果P和Q有且僅有一個正確，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的單調性，解不等式2^|x|＜a，我們可以求出使命題P為真時，參數a的取值范圍，根據對數函數的定義域及二次函數恒成立的充要條件，我們易求出命題Q為真時，參數a的取值范圍，進而根據P和Q有且僅有一個正確，分P真Q假或者P假Q真兩種情況討論，最后綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：若P：關于x的不等式2^|x|＜a的解集為∅，為真命題
則a≤1---------------4分
若Q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，即ax²-x+a＞0恒成立
即

a＞0 △=1-4a2＜0

解得a＞

1

2

------------------------8分
∵P和Q有且僅有一個正確
∴P真Q假或者P假Q真------------------9分
ⅰ：若P真Q假，則a≤

1

2

ⅱ：若P假Q真，則a＞1-----------------------------------------13分
綜上可得，所求a的取值范圍為（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）------------------------14分

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中根據解指數形式，求出命題P為真時，參數a的取值范圍，根據對數函數的定義域及二次函數恒成立的充要條件求出命題Q為真時，參數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．