Question

若對于函數f（x）的定義域內的任一個x的值，均有f(x)=f(-x)=-f(x+

π

2

)，對于下列四個函數：
①y=cos²x-cos⁴x；
②y=sin⁴x-cos⁴x；
③y=sin(2x+

π

4

)+cos(2x+

π

4

)；
④y=|tanx|．其中符合已知條件的函數序號為

②③

．

Answer 1

分析：①函數f（x）=cos²x-cos⁴x，滿足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=f（x）；
②f（x）=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，滿足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=-f（x）；
③f(x)=sin(2x+

π

4

)+cos(2x+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

2

)=-

2

cos2x，由②知符合條件；
④f（x）=|tanx|，滿足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=|cotx|≠-f（x），由此可得結論．

解答：解：①函數f（x）=cos²x-cos⁴x，滿足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=sin²x-sin⁴x=sin²xcos²x，f（x）=cos²xsin²x，∴f（x+

π

2

）=f（x），故①不符合；
②f（x）=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，滿足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=-cos（2x+π）=cos2x=-f（x），故②符合；
③f(x)=sin(2x+

π

4

)+cos(2x+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

2

)=-

2

cos2x，由②知符合條件；
④f（x）=|tanx|，滿足f（x）=f（-x），f（x+

π

2

）=|cotx|≠-f（x），故④不符合
綜上知，符合已知條件的函數序號為②③
故答案為：②③

點評：本題考查新定義，考查三角函數的化簡，解題的關鍵是一一驗證，屬于中檔題．