Question

【題目】已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點 ，在坐標軸上，離心率為，且過點．

（1） 求雙曲線的標準方程；

（2） 若點在第一象限且是漸近線上的點，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】分析：（1）由雙曲線離心率為，設雙曲線方程為，將點代入方程得，即可得到雙曲線的標準方程．

（2）由（1）得雙曲線的漸近線方程為，設點坐標為，得到向量的坐標，由，求得的值，即可得到結果．

詳解：（1）因為雙曲線離心率為，所以是等軸雙曲線，

∴設雙曲線方程為，

將點代入方程得：，所以，

雙曲線方程為：．

（2）因為等軸雙曲線的漸近線方程為，

點在第一象限且是漸近線上的點，

∴設點坐標為，

∵等軸雙曲線 ，所以，

不妨設 ），

所以，，

又因為，所以，

所以，

解得（舍去負值），

所以點的坐標為．