Question

現有下列命題：
①設a，b為正實數，若a²-b²=1，則a-b＜1；
②設，均為單位向量，若；
③數列；
④設函數，則關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4個解．
其中的真命題有    ．（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

【答案】分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1
②根據向量模的計算公式，求出時，夾角θ的范圍，可判斷真假
③求數列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數列的單調性處理．進而判斷其真假
④根據函數，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的個數，可判斷其真假
解答：解：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，
即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，
∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②若，則，
即2+2cosθ＞1，cosθ＞-，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，），②正確；
③由an=n（n+4）（）ⁿ，
令==≥1，
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），
即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4時，a_n+1＞a_n，
當n≥4時，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大，故③正確；
令f²（x）+2f（x）=0，
則f（x）=0，或f（x）=-2，
∵，
∴當f（x）=0時，
x=1，或x=0，或x=2，
當f（x）=-2時，x=10.1或x=0.99，
故方程有5個解，故④錯誤
故答案為：①②③
點評：本題主要考查了不等式的證明方法，間接證明和直接證明的方法，放縮法和舉反例法證明不等式，演繹推理能力，有一定難度，屬中檔題