Question

現有下列命題：
①設a，b為正實數，若a²-b²=1，則a-b＜1；
②△ABC若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形；
③數列{n（n+4）（

2

3

）ⁿ中的最大項是第4項；
④設函數f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

則關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4個解；
⑤若sinx+siny=

1

3

，則siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中的真命題有

①③

．（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1；
②利用余弦定理能推導出（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，由此得到△ABC是等腰三角形或直角三角形；
③求數列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數列的單調性處理；
④根據函數f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的個數，可判斷其真假；
⑤由題意得siny=

1

3

-sinx，且-1≤

1

3

-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數的性質求出其最大值．

解答：解：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，故①正確；
②△ABC中，∵acosA=bcosB，
∴a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

，
整理，得（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②錯誤；
③an=n（n+4）（

2

3

）n，則

an+1

an

=

(n+1)(n+5)( 2 3 )n+1

n(n+4)( 2 3 )n

=

2

3

•

(n+1)(n+5)

n(n+4)

≥1，
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4時，a_n+1＞an，
當n≥4時，a_n+1＜an，
所以a₄最大，故③正確；
④∵f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，
∴當f（x）=0時，
x=1，或x=0，或x=2，
當f（x）=-2時，x=10.1或x=0.99，
故方程有5個解，故④錯誤；
⑤∵sinx+siny=

1

3

，∴siny=

1

3

-sinx，∵-1≤

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=

1

3

-sinx-（1-sin²x）
=（sinx-

1

2

）2-

11

12

，∴sinx=-

2

3

時，siny-cos²x的最大值為（-

2

3

-

1

2

）2-

11

12

=

4

9

，
故⑤錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要認真審題，注意不等式、三角函數、數列、零點等知識點的合理運用．