Question

（2013•杭州二模）如圖，已知直線y=2x-2與拋物線x²=2py（p＞0）交于M₁，M₂兩點，直線y=

p

2

與y軸交于點F．且直線y=

p

2

恰好平分∠M₁FM₂．
（I）求P的值；
（Ⅱ）設A是直線y=

p

2

上一點，直線AM₂交拋物線于另點M₃，直線M₁M₃交直線y=

p

2

于點B，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），把直線和拋物線方程聯立，由根與系數關系得到兩點橫坐標的和與積，直線y=

p

2

恰好平分∠M₁FM₂，說明kM1F+kM2F=0，寫出斜率后代入兩點橫坐標的和與積，整理即可得到p的值；
（Ⅱ）把求出的p代入拋物線方程，設M3(x3，

x32

8

)，A（t，2），B（a，2），把M₁，M₂的坐標僅用橫坐標表示，然后分別由A、M₂、M₃三點共線，B、M₃、M₁三點共線列斜率相等的式子，把得到的式子化簡整理即可得到at的值，則

OA

•

OB

的值可求．

解答：解：（Ⅰ） 由

y=2x-2 x2=2py

，整理得x²-4px+4p=0，
設M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），
則

△=16p2-16p＞0 x1+x2=4p x1•x2=4p

，
∵直線y=

p

2

平分∠M₁FM₂，∴kM1F+kM2F=0，
∴

y1- p 2

x1

+

y2- p 2

x2

=0，即

2x1-2- p 2

x1

+

2x2-2- p 2

x2

=0，
整理得：4-(2+

p

2

)•

x1+x2

x1•x2

=0，
則4-(2+

p

2

)•

4p

4p

=0，解得p=4，滿足△＞0，
∴p=4．
（Ⅱ） 由（1）知拋物線方程為x²=8y，
且

x1+x2=16 x1x2=16

，M1(x1，

x12

8

)，M2(x2，

x22

8

)，
設M3(x3，

x32

8

)，A（t，2），B（a，2），
由A、M₂、M₃三點共線得kM2M3=kAM2，
∴

x22 8 - x32 8

x2-x3

=

x2+x3

8

=

x22 8 -2

x2-t

，即：x22+x2x3-t(x2+x3)=x22-16，
整理得：x₂x₃-t（x₂+x₃）=-16  ①
由B、M₃、M₁三點共線得kM1M3=kBM1，
∴

x12 8 - x32 8

x1-x3

=

x1+x3

8

=

x12 8 -2

x1-a

，即x12+x1x3-a(x1+x3)=x12-16
x₁x₃-a（x₁+x₃）=-16  ②
②式兩邊同乘x₂得：x₁x₂x₃-a（x₁x₂+x₂x₃）=-16x₂，
即：16x₃-a（16+x₂x₃）=-16x₂ ③
由①得：x₂x₃=t（x₂+x₃）-16，代入③得：16x₃-16a-ta（x₂+x₃）+16a=-16x₂，
即：16（x₂+x₃）=at（x₂+x₃），∴at=16．
∴

OA

•

OB

=at+4=20．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了直線的傾斜角與斜率的關系，考查了由兩點求斜率的公式，訓練了平面向量在圓錐曲線中的應用，體現了整體代換思想．屬難題．