Question

(本題滿分16分)A、B是函數f(x)=+的圖象上的任意兩點，且=()，已知點M的橫坐標為.
(Ⅰ)求證：M點的縱坐標為定值；
(Ⅱ)若S_n=f()+f()+…+f()，n∈N₊且n≥2，求S_n；
(Ⅲ)已知數列{a_n}的通項公式為. T_n為其前n項的和，若T_n<(S_n+1+1)，對一切正整數都成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)證明：設A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M(,y_m)，由得
即x₁+x₂="1."



即M點的縱坐標為. …………………………………………………4分
(Ⅱ)當n≥2時，∈(0,1)，又=…=x₁+x₂，
∴=…=f(x₁)+f(x₂)=y₁+y₂=1.
…，又…，
∴2S_n=n-1，則(n≥2，n∈N₊). ……………………………10分
(Ⅲ)由已知T₁=a₁=，n≥2時，，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=…=.
當n∈N₊時，T_n<(S_n+1+1)，即>，n∈N₊恒成立，則>.
而(n=2時“＝”成立)，
∴，∴實數的取值范圍為(,+∞). ……………………16分

略