Question

【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數列 ， ， ， 為 階“期待數列”：
① ；
② .
（1）分別寫出一個單調遞增的 3 階和 4 階“期待數列”.
（2）若某 2017 階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式.
（3）記 階“期待數列”的前 項和為 ，試證： .

Answer 1

【答案】
（1）解：三階： 1 2 ， 0 ， 1 2 四階： 3 8 ， 1 8 ， 1 8 ， 3 8 ．
（2）解：設等差數列 ， ， ， ， 公差為 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 且 時與①②矛盾，
時，由①②得： ，
∴ ，即 ，
由 得 ，即 ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
時，同理得 ，
即 ，
由 得 即 ，
∴ ，
∴ 時， ．
（3）解：當 時，顯然 成立；
當 時，根據條件①得 ，
，
即 ，
，
∴ ，
∴ ．
【解析】(1)弄清新定義n 階“期待數列”的含義,寫出3 階“期待數列”和4 階“期待數列”即可;
(2)由2017 階“期待數列”是等差數列,則要求數列有2017項,且這2017項的和為0,絕對值的和為1,設出數列的公差,對公差d=0,d>0,d<0,分別討論求出通項;
(3)廡討論k=n時,由定義得證,再討論k<n時,由絕對值的性質即可證明不等式.