Question

已知：M={a|函數y=2sinax在[]上是增函數}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數解}，設D=M∩N，且定義在R上的奇函數在D內沒有最小值，則m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先確定出集合MN的范圍，求出集合D的范圍．再根據在D內沒有最小值，對函數的最小值進行研究，可先求其導數，利用導數研究出函數的單調性，確定出函數的最小值在區間D的左端點取到即可，由于直接研究有一定困難，可將函數變為f（x）==，構造新函數h（x）=，將研究原來函數沒有最小值的問題轉化為新函數沒有最大值的問題，利用導數工具易確定出新函數的最值，從而解出參數m的取值范圍．
解答：解：∵M={a|函數y=2sinax在[]上是增函數，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數解}，所以可得N={b|1＜b≤2}
∴D=M∩N=（1，]
∵是定義在R上的奇函數
∴f（0）=0可得n=0
∴f（x）=，又在D內沒有最小值
∴f（x）==，
若m≤0，可得函數f（x）在D上是減函數，函數在右端點處取到最小值，不合題意
若m＞0，令h（x）=，則在D內沒有最小值可轉化為h（x）在D內沒有最大值，下對h（x）在D內的最大值進行研究：
由于h′（x）=1-，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函數h（x）在（0，）是減函數，在（，+∞）上是增函數，
當≥時，即m≥時，函數h（x）在D上是減函數，不存在最大值，符合題意
當≤1時，即m≤1時，函數h（x）在D上是增函數，存在最大值h（），不符合題意
當1＜＜時，即1＜m＜時，函數h（x）在（1，）是減函數，在（，）上是增函數，必有h（1）＞h（）成立，才能滿足函數h（x）在D上沒有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合題意
綜上討論知，m的取值范圍是m＞，
故答案為m＞
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，三角函數的周期求法及對三角函數圖象特征的理解，指數函數的值域及集合的運算．考查了轉化的思想及分類討論的思想，計算的能力，本題綜合性強涉及到的知識點較多，屬于綜合題中的難題．