Question

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）．現用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數）．
（1）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；
（2）從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如下表1和表2．
表1：

表2：

①先確定x、y，再完成頻率分布直方圖，就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）


②分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人的生產能力的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）．

Answer 1

分析：（1）根據隨機抽樣中各個個體被抽到的可能性均相等，可以得出甲、乙兩工人分別被抽到的概率，再根據獨立事件概率的計算公式求得結果；
（2）①利用分層抽樣的思想確定出A類工人和B類工人分別被抽查到的人數，然后根據統計表格利用方程確定出x，y的值，完成頻率分布直方圖，通過頻率分布直方圖判斷出A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小；
②利用頻率分布直方圖各組小長方形上端的中點橫坐標作為該組的生產能力估計值，各組的頻率值作為近似的概率值利用均值的計算公式估算出他們的生產能力平均數．

解答：解：（1）甲、乙被抽到的概率均為

1

10

，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為P=

1

10

×

1

10

=

1

100

．
（2）①由題意知A類工人中應抽查25名，B類工人中應抽查75名．
故4+8+x+5+3=25，得x=5，
6+y+36+18=75，得y=15．
頻率分布直方圖如下：

從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的差異程度更小．
②

.

x

_A=

4

25

×105+

8

25

×115+

5

25

×125+

5

25

×135+

3

25

×145=123，

.

x

_B=

6

75

×115+

15

75

×125+

36

75

×135+

18

75

×145=133.8，

.

x

=

25

100

×123+

75

100

×133.8=131.1．
A類工人生產能力的平均數、B類工人生產能力的平均數以及全廠工人生產能力的平均數的估計值分別為123，133.8和131.1．

點評：本題考查統計的基本知識，考查用樣本估計總體的思想，考查隨機抽樣的基本思想和方法，分層抽樣的思想、相互獨立事件同時發生的概率的計算方法，考查頻率分布直方圖的繪畫、學生的畫圖、識圖能力，數據中均值的計算方法．