Question

【題目】一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)．質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的．設(shè)由所有質(zhì)數(shù)組成的無(wú)窮遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列1，3，5，7，…中所有不大于的項(xiàng)的和為．

（Ⅰ）求和；

(Ⅱ)判斷和的大小，不用證明；

（Ⅲ）設(shè)，求證：，，使得．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)11,36 (Ⅱ)見(jiàn)解析；（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意直接求得p5和f（5）；

（Ⅱ）分別取n＝1，2，3，4，5．求得Sn和f（n），比較大小得結(jié)論；

（Ⅲ）取值驗(yàn)證n≤4時(shí)，命題成立．當(dāng)n≥5時(shí)，設(shè)k是使得k2≤Sn成立的最大自然數(shù)，只需證（k+1）2＜Sn+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+pn，結(jié)合（Ⅱ）可知，當(dāng)n≥5時(shí)，Sn＜f（n），得到pn＞2k﹣1，從而pn+1＞2k+1．進(jìn)一步得到．

(Ⅰ)，

；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，，．

所以當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，，．

不難看出，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，，，，，

所以當(dāng)時(shí)，，使得；

當(dāng)時(shí)，，使得；

當(dāng)時(shí)，，使得；

當(dāng)時(shí)，，使得

所以時(shí)，命題成立．

當(dāng)時(shí)，設(shè)是使得成立的最大自然數(shù)，只需證．

因?yàn)?/span> ，

，

由(Ⅱ)可知，當(dāng)時(shí)，，

所以，從而

所以，即．

綜上可知，命題成立．