Question

已知橢圓E：的離心率為，右焦點為F，且橢圓E上的點到點F距離的最小值為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設橢圓E的左、右頂點分別為A，B，過點A的直線l與橢圓E及直線x=8分別相交于點M，N．
（ⅰ）當過A，F，N三點的圓半徑最小時，求這個圓的方程；
（ⅱ）若，求△ABM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由離心率為，橢圓E上的點到點F距離的最小值為2，即a-c=2聯立方程組求a，c的值，然后利用b²=a²-c²求出b²，則橢圓方程可求；
（2）（ⅰ）設出圓的一般方程，設N（8，t），把三點A（-4，0），F（2，0），N（8，t）代入圓的方程整理成標準式后利用基本不等式求出半徑的最小值，同時求得半徑最小時的圓的方程；
（ⅱ）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出M點的坐標，由，借助于向量數量積求出直線的斜率，進一步得到M點的縱坐標，則△ABM的面積可求．
解答：解：（1）由已知，，且a-c=2，所以a=4，c=2，所以b²=a²-c²=12，
所以橢圓E的方程為．
（2）（ⅰ）由（1），A（-4，0），F（2，0），設N（8，t）．
設圓的方程為x²+y²+dx+ey+f=0，將點A，F，N的坐標代入，得
，解得．
所以圓的方程為，
即，
因為，當且僅當時，圓的半徑最小，
故所求圓的方程為．
（ⅱ）由對稱性不妨設直線l的方程為y=k（x+4）（k＞0）．
由，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-48=0
由-4+x_M=，得，所以，
所以，，
所以==，
化簡，得16k⁴-40k²-9=0，
解得，或，即，或，
此時總有y_M=3，所以△ABM的面積為．
點評：本題考查了圓與橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題、面積問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題．