Question

已知橢圓E：的離心率為，它的上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，直線AF₁，AF₂分別交橢圓于點B，C．
（1）求證直線BO平分線段AC；
（2）設點P（m，n）（m，n為常數）在直線BO上且在橢圓外，過P的動直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點Q，滿足，試證明點Q恒在一定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用離心率計算公式，及b²=a²-c²=2c²，可以用c表示a，b，即可表示橢圓的標準方程，進而得到點A，F₁的坐標；與橢圓的方程聯立即可解得點B的坐標，利用對稱性即可得到點C的坐標，利用中點坐標公式即可得到相等AC的中點坐標，滿足直線BO的方程即可；
（2）設過P的直線l與橢圓交于兩個不同點的坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點Q（x，y），可得，．設=λ，則，，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x₁，y₁，x₂，y₂，λ表示，進而得到2mx+3ny為常數即可．
解答：證明：（1）由題意，，則，b²=a²-c²=2c²，
故橢圓方程為，
即2x²+3y²-6c²=0，其中，F₁（-c，0），
∴直線AF₁的斜率為，此時直線AF₁的方程為，
聯立得2x²+3cx=0，解得x₁=0（舍）和，即B，
由對稱性知．
直線BO的方程為，
線段AC的中點坐標為，
AC的中點坐標滿足直線BO的方程，即直線BO平分線段AC．
（2）設過P的直線l與橢圓交于兩個不同點的坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點Q（x，y），
則，．
設=λ，則，，
求得，，，，
∴，，
∴2mx+3ny====6c²，
由于m，n，C為常數，所以點Q恒在直線2mx+3ny-6c²=0上．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量共線等基礎知識與方法，需要較強的推理能力與計算能力．