Question

已知A，B，C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量

OA

，

OB

，

OC

 滿足：

OA

-(

3

2

x2+1)

OB

-[ln(2+3x)-y]

OC

=

0

，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的解析式：
（2）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍；
（3）若對任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量

OA

，

OB

，

OC

 滿足：

OA

-(

3

2

x2+1)

OB

-[ln(2+3x)-y]

OC

=

0

，A，B，C在同一條直線上，知（

3

2

x2+1）+[ln（2+3x）-y]=1，由此能求出函數y=f（x）的解析式．
（2）由f（x）=2x+b，知b=f（x）-2x=ln（2+3x）+

3

2

x2-2x，令φ(x)=ln(2+3x)+

3

2

x2-2x(x＞-

2

3

)，利用導數知識能求出b的取值范圍．
（3）由已知的不等式解出a的取值范圍并得到a的取值使不等式成立即可．

解答：解：（1）∵向量

OA

，

OB

，

OC

 滿足：

OA

-(

3

2

x2+1)

OB

-[ln(2+3x)-y]

OC

=

0

，
∴

OA

=(

3

2

x2+1)

OB

+[ln(2+3x)-y]

OC

=

0

，
又∵A，B，C在同一條直線上，
∴（

3

2

x2+1）+[ln（2+3x）-y]=1，
∴y=ln（2+3x）+

3

2

x2．
故f（x）=ln（2+3x）+

3

2

x2．…（3分）
（2）∵f（x）=2x+b，f（x）=ln（2+3x）+

3

2

x2．
∴b=f（x）-2x=ln（2+3x）+

3

2

x2-2x，
令φ(x)=ln(2+3x)+

3

2

x2-2x(x＞-

2

3

)，
則φ′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

3x+2

，
∴當x∈（0，

1

3

）時，φ'（x）＜0；當x∈(

1

3

，1)時，φ'（x）＞0．
∵φ（0）=ln2，φ(

1

3

)=ln3-

1

2

，φ(1)=ln5-

1

2

，
ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2

-

1

2

=ln

5

2 e

＞0，
∴b∈（ln3-

1

2

，ln2）．
∴b的取值范圍是(ln3-

1

2

，ln2)．…（8分）
（3）由|a-lnx|-ln[f′（x）+3x]＞0，
得a＞lnx+ln3-ln（2+3x）或a＜lnx-ln3+ln（2+3x），
設h（x）=lnx+ln3-ln（2+3x），g（x）=lnx-ln3+ln（2+3x）
依題意知a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上恒成立，
∵h′（x）=

2

x(2+3x)

＞0，g′（x）=

2+6x

2x+3x2

＞0，
∴g（x）與h（x）都在[

1

6

，

1

3

]上單增，要使不等式成立，
當且僅當a＞h（

1

3

）或a＜g（

1

6

），即a＞ln

1

3

或a＜ln

5

36

．…（14分）

點評：本題考查學生利用向量、導數研究函數極值的能力，綜合運用方程與函數的能力，以及求導數的能力．解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．