Question

已知集合A={x|

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＜2x＜4}，B={x|x＜a}，C={x|m-1＜x＜2m+1}，
（1）求集合A，并求當(dāng)A⊆B時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∪C=A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)y=4^x-2^x+1-1在x∈A時(shí)的值域．

Answer 1

分析：（1）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易求集合A，利用數(shù)軸不難求得a的范圍；
（2）由A∪C=A可知C⊆A，借助數(shù)軸可得不等式組，解出即可；
（3）y=4^x-2^x+1-1=（2^x）²-2•2^x-1，令t=2^x，則函數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，由x∈A可得t的范圍，在t的范圍內(nèi)利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得其最小值、最大值，從而得到值域；

解答：解：（1）集合A={x|

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＜2x＜4}=（-1，2）
∵B={x|x＜a}，∴當(dāng)A⊆B時(shí)，a≥2；
（2）∵A∪C=A，∴C⊆A，
又C={x|m-1＜x＜2m+1}，
所以有

m-1≥-1 2m+1≤2

，解得0≤m≤

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，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為：0≤m≤

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；
（3）y=4^x-2^x+1-1=（2^x）²-2•2^x-1，
令t=2^x，∵x∈A=（-1，2），∴t∈（

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，4），
則y=t²-2t-1=（t-1）²-2，
所以y=（t-1）²-2在（

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，1）上遞減，在（1，4）上遞增，
所以當(dāng)t=1時(shí)y_min=-2，當(dāng)t=4時(shí)y_max=7，又t＜4，所以y＜7，
函數(shù)y=4^x-2^x+1-1在x∈A時(shí)的值域?yàn)閇-2，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合關(guān)系中參數(shù)的求解及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．