Question

AB是過拋物線y²=2px（p＞0）焦點F的一條弦，且|AF|=1，|BF|=

1

3

，求拋物線及直線AB方程．

Answer 1

分析：設出A，B兩點的坐標，根據拋物線定義可分別表示出|AF|和|BF|，進而可求得|AF|+|BF|求得x₁+x₂的表達式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，則拋物線方程可得．再由|AB|=

2p

sin2θ

=

4

3

，得 sin2θ=

3

4

，從而利用特殊角的三角函數求出直線AB的斜率，由點斜式方程寫出AB方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 |AF|=x1+

p

2

，|BF|=x2+

p

2

，…（2分）
則|AF|+|BF|=x1+x2+p=

4

3

，
∴x1+x2=

4

3

-p，…（4分）
而若設過焦點（

p

2

，0）的直線斜率存在且不為0，則可設AB的方程為：y=k（x-

p

2

）
又因為A，B兩點是直線AB與拋物線的交點，則
 

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，⇒x²-（

2p

k

+p）x+

p2

4

=0
∴x1•x2=

p2

4

，
由|AF|•|BF|=x1•x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

=

1

3

．
得 

p2

2

+

p

2

•(

4

3

-p)=

1

3

，…（6分）
即

2p

3

=

1

3

，
∴p=

1

2

，
拋物線方程為y²=x．…（8分）
設直線AB的傾斜角為θ，
又根據兩點間的距離公式得：|AB|²=（y₂-y₁）²+（x₂-x₁）²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
由于直線AB過點（

p

2

，0），設直線AB為y=tanθ（x-

p

2

），
聯立得到：tan²θx²-（tan²θ+2）px+

1

4

p²tan²θ=0
那么（x₂-x₁）²
=（x₂+x₁）²-4x₁x ₂
=（

tan 2θ +2

tan 2θ

×p）²-4×

p2

4

=4p²（tan²θ+1）×

1

tan4θ

那么|AB|²=（tan²θ+1）（x₂-x₁）²
=（tan²θ+1）×4p²（tan²θ+1）×

1

tan4θ

=

4p2

sin 4θ

．
∴|AB|=

2p

sin2θ

，
由|AB|=

2p

sin2θ

=

4

3

，得 sin2θ=

3

4

，
∴sinθ=±

3

2

，∴θ=60⁰或120⁰，
得 k=tanθ=±

3

，
所以AB方程為 y=±

3

(x-

1

4

)．…（12分）

點評：本題主要考查了拋物線的應用、直線的點斜式方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．對于拋物線的焦點弦問題常借助拋物線的定義來解決，屬于基礎題．