Question

已知橢圓E的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點坐標為（1，0），點P（1，

3

2

）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓E的頂點A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓E交于（不同于點A的）兩點M，N．
問：直線MN是否一定經過x軸上一定點？若是，求出定點坐標，不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）右焦點為（1，0），點P（1，

3

2

）在橢圓E上，2a=|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1) 2+( 3 2 )2

 =4，
由此能求出橢圓方程．
（II）設直線AM方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) 3x2+4y2=12

，解得M(

6-8k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

)，同理，得N（

6k2-8

3k2+4

，

-12k

3k2+4

），
若

6-8k2

3+4k2

=

6k2-8

3k2+4

，則得k²=1，即直線MN的方程為x= -

2

7

，此時過x軸上一點Q（-

2

7

，0），由此能導出直線MN過x軸上一定點Q（-

2

7

，0）．

解答：解：（I）∵右焦點為（1，0），∴c=1，左焦點為（-1，0），點P（1，

3

2

）在橢圓E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1) 2+( 3 2 )2

 =4，
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設直線AM方程為y=k（x+2），
則有

y=k(x+2) 3x2+4y2=12

，整理，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得M(

6-8k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

)，同理，得N（

6k2-8

3k2+4

，

-12k

3k2+4

），
若

6-8k2

3+4k2

=

6k2-8

3k2+4

，則得k²=1，即直線MN的方程為
x= -

2

7

，此時過x軸上一點Q（-

2

7

，0）（10分）
當k²≠1時，假設直線MN過x軸上一定點Q（m，0），則有

QM

∥

NQ

，

QM

=(

6-8k2

3+4k2

-m，

12k

3+4k2

)，

NQ

=(m-

6k2-8

3k2+4

，

12k

3k2+4

)，則由

QM

∥

NQ

，
解得m=-

2

7

，
所以直線MN過x軸上一定點Q（-

2

7

，0）（12分）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．