Question

已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁和l₂，過橢圓E的右焦點F作直線l，使得l⊥l₂于點C，又l與l₁交于點P，l與橢圓E的兩個交點從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當直線l₁的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時，求橢圓的方程；
（2）設

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，證明：λ₁+λ₂為常數．

Answer 1

分析：（1）因為直線l₁的傾斜角為30°，所以

b

a

=

3

3

，因為雙曲線的焦距為8，所以c=4再根據a，b，c關系，可得橢圓方程．
（2）由l⊥l₂于點C，以及l₁和l₂方程可得出l方程，再與l₁方程聯立，求出P點坐標．再設出A，B坐標，由

PA

=λ1

AF

，

PB

=λ2

BF

，計算出λ₁+λ₂，的值即可．

解答：解：（1）由已知，

b

a

=

3

3

，a²+b²=16．
解得：a²=12，b²=4
所以橢圓E的方程是

x2

12

+

y2

4

=1
（2）解法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由題意得：直線l₁的方程為：y=

b

a

x，直線l₂的方程為：y=-

b

a

x
則直線l的方程為：y=

a

b

（x-c），其中點F的坐標為（c，0）；


由

y= b a x  y= a b (x-c)

得：

x= a2 c y= ab c

，則點P(

a2

c

，

ab

c

)

由

x2 a2 + y2 b2 =1 y= a b (x-c)

消y得：2x²-2cx+（c²-a²）=0，則x₁+x₂=c   x₁x₂=

c2-a2

2

；
由

PA

= λ1

AF

得：x1-

a2

c

=λ1(c-x2)，則：λ1=

cx1-a2

c(c-x1))

，
同理由

PA

=λ2

BF

得：λ2=

cx1-a2

c(c-x2)

．
λ₁+λ₂=

cx1-a2

c(c-x1))

+

cx2-a2

c(c-x2))

=

(cx1-a2)(c-x2)+(cx2-a2)(c-x1)

c(c-x1))(c-x2))

=

(c2+a2 )c-c(c2-a2)-2ca2

c(c-x1))(c-x2)

=0
故λ₁+λ₂=0為常數．
解法2：過p作X軸的垂線M，過A，B分別作m的垂線，垂足分別為A₁，B₁
由題意得：直線l₁的方程為：y=

b

a

x，直線l₂的方程為：y=-

b

a

x
則直線l的方程為：y=

a

b

(x-c)，其中點F的坐標為（c，0）
由

y= b a x y= a b (x-c)

得：

x= a2 c y= ab c

，則直線m為橢圓E的右準線
則：

PA

AF

=

| PA |

e| AF |

，

PB

BF

=

| PB |

e| BF |

，其中e的離心率
λ₁=

| PA |

| AF |

，λ₂=-

| PB |

| BF |

，

| PA |

| AF |

=

| PB |

| BF |

，故λ₁+λ₂=0
∴λ₁+λ₂為常數

點評：本題考查了橢圓，雙曲線與直線的位置關系，計算量較大，須認真解答．