Question

（本小題滿分12分）
　　　如圖，橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點。
　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點，若直線l繞點F任意轉動，值有，求a的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）（，+）

本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分.
解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，

因為△MNF為正三角形，
所以,
即1＝
因此，橢圓方程為
(Ⅱ)設
(ⅰ)當直線AB與x軸重合時，

(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時，
設直線AB的方程為：
整理得
所以
因為恒有，所以AOB恒為鈍角.
即恒成立.


又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0對mR恒成立，
即a²b²m²> a² -a²b²+b²對mR恒成立.
當mR時，a²b²m²最小值為0，所以a²- a²b²+b²<0.
a²<a²b²- b^2,a²<( a²-1)b²= b⁴,
因為a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,
解得a>或a<(舍去)，即a>,
綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）當直線l垂直于x軸時，
x=1代入=1.
因為恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A^2,y_A²>1，即>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x_1,y₁）, B（x_2,y2）.
設直線AB的方程為y=k(x-1)代入
得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a²k^2-a²b²=0,
故x₁+x₂₌
因為恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,
所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,
得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.
x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k²
=(1+k²).
由題意得（a²- a²b²+b²）k²- a² b²<0對kR恒成立.
①當a²- a²b²+b²>0時，不合題意；
②當a²- a²b²+b²=0時，a=;
③當a²- a²b²+b²<0時，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,
解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.
綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.