Question

【題目】選修4－4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線經過伸縮變換后得到曲線．在以原點為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．

（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；

（2）已知點是曲線上的任意一點，求點到直線的距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）為圓心在原點，半徑為2的圓， （2）取到最小值為最大值為

【解析】試題分析：（1）利用三角恒等式消元法消去參數可得曲線的普通方程，再利用放縮公式可得曲線方程，從而可判定是哪一種曲線，利用極坐標護互化公式可得的方程化為極坐標方程；（2）利用的參數方程設出點的坐標，利用點到直線距離公式、輔助角公式及三角函數的有界性可得結果.

試題解析：（1）因為曲線的參數方程為（為參數），

因為，則曲線的參數方程．

所以的普通方程為．

所以為圓心在原點，半徑為2的圓．

所以的極坐標方程為，即．

（2）解法：直線的普通方程為．

曲線上的點到直線的距離．

當即時， 取到最小值為．

當即時， 取到最大值為．